微软研究院的Xinzhi Zhang与Zhao Song解决悬置31年的KLS猜想

微软研究员与合作者将新的数学思想与人类引导的 AI 相结合，解决高维几何与概率中的一个核心问题

一览

• 基础科学突破：研究人员解决了 Kannan-Lovász-Simonovits（KLS）猜想。这是一个已有 31 年历史的问题，被广泛视为高维几何中的核心未解问题之一，对统计学、优化、算法和计算机科学具有影响。
• 一条普适几何原理：该结果为对数凹分布确立了一条普适几何原理，表明无论维度如何，简单的平面切割都能在一个固定因子范围内刻画其最窄瓶颈。 
• 人类与 AI 协作：这一突破源于人类引导的智能体研究过程：AI 系统探索数学上的各种可能性，研究人员则评估、剪枝并重新引导搜索。
• 独立确认：多位独立研究人员已验证这项研究，将其核心判据认定为关键突破，随后还进行了机器检验的形式化验证。 

数十年来，一个关于高维空间中计算难度的根本问题一直未能得到证明。新研究解决了这一问题，消除了理解科学与计算中所用随机算法效率的一个重大理论障碍。

Kannan–Lovász–Simonovits（KLS）猜想于 1995 年提出。它询问：对于一大类高维概率分布，最佳平面或超平面切割是否总是几乎与任意形状的最佳切割同样有效。更精确地说，KLS 预测二者相差不超过一个普适常数，而与维数无关。这将确立一条与维度无关的几何原理，对高维几何、概率和理论计算机科学具有重要影响。由于这些切割的几何性质决定随机游走探索一个分布的速度，KLS 在高维采样理论中也起着核心作用。

自 1995 年以来，数学家们已积累该猜想成立的证据，但完整证明仍然难以获得。现在，包括微软研究院机器学习与优化组的 Xinzhi Zhang 在内的两位研究人员已经证明了 KLS 猜想 （在新标签页中打开）。他们表明，无论一个形状有多少个维度，该关系都以一个固定界成立。在这项工作之前，已知的最佳结果 （在新标签页中打开）于 2026 年 7 月确立，允许该界随维数增加而缓慢增长。这项工作确立了一条基本几何原理：高维空间的性质比此前所知的更好，在其中导航的障碍不会随维度增加而无界增长。 

KLS猜想的重要性早在其得到解决之前很久就已获得整个领域的认可。在其2017-18年度报告中，数学科学研究所（MSRI）（在新标签页中打开）称其为“高维凸几何中的一个核心未解问题”。西蒙斯研究所（在新标签页中打开）将其描述为“凸几何中最重要的未解问题之一”。在2022年国际数学家大会（ICM）（在新标签页中打开）的论文集中，Ronen Eldan指出了它对高维凸几何与计算几何的广泛影响。Quanta Magazine（在新标签页中打开）写道，KLS“处于统计学和计算机科学中许多问题的核心”。

技术细节

作者首先改进了2026年7月的结果，以使数学界更加精确。在结构化、由人类主导的过程中与AI智能体合作，他们探索了100多种候选方法，其中许多涉及高阶张量的冗长计算。由此产生了一项新的数学准则，成为最终证明的基础。

作者随后发现，这一新准则可以递归应用。每一个改进后的界都可以反馈到同一论证中，从而产生更紧的界。在该论文2026年10月1日的版本中，这将对于维数的依赖降低到了迭代对数。该函数增长极其缓慢，但仍会随维数增长，因此尚未完全解决该猜想。

最后一步是重复整个递归细化过程，而不是只应用一次。这一想法受到作者此前关于线性规划快速算法的工作的启发。作者证明，每个阶段引入的微小误差收缩得足够快，使其总和仍被一个与维数无关的普适常数所界定。这消除了对维数数量的依赖，并在该论文2026年10月4日的版本中完成了证明。

递归方法、其反复应用，以及累积误差保持有界的证明，是研究人员的原创贡献。AI工具帮助探索候选方法、进行详细推导、准备手稿并执行内部证明检查。研究人员确定了数学方向，挑选了有前景的想法，将其整合为最终论证，并验证了证明。

独立确认

在作者发布其完整证明的同一天，另一组顶尖专家发布了一份完整证明（在新标签页中打开），该证明由他们并行完成。他们的工作建立在微软论文第一版（在新标签页中打开）的发现之上，称其为“证明中的关键一步”。同一天另行出现的第三份证明（在新标签页中打开）依赖于一个密切相关的想法。此外，随后发布了一份Lean 4形式化（在新标签页中打开），将第一篇微软论文中的关键准则与进一步的研究相结合。 

独立证明是数学中最有力的验证形式之一，因为它们表明一个结果并不依赖于单一的推理链条。随后出现的替代方法与形式化验证进一步增强了人们的信心，即该领域所揭示的是一个真正的底层原理，而非脆弱的技术性论证。作者还缩短了他们的证明，并在 Lean 中验证了这一精简后的论证；他们计划在最终审阅后发布这两者。这些进展共同提供了互补的确认形式。

人类与 AI 的引导

在证明 KLS 的过程中，这项研究也展示了由研究人员引导 AI 的力量，而不是仅仅让 AI 通过前沿模型或智能体的单次端到端运行来解决复杂问题。作者采用了带有迭代式、人工辅助“剪枝”的智能体搜索过程：当多个智能体并行探索一个想法的不同变体时，研究人员检查其中间结果，剔除没有前景的方向，并将最有前景的结果传递到下一轮。在关键突破出现之前，大约探索了一百条研究轨迹。 

在该项目的另一条路径中，作者使用若干领先的 AI 模型，以与主流程大致相同的总 token 预算，反复进行无引导的尝试来解决同一问题。这一努力未能达成目标。最终的成功既依赖于 AI 系统的能力，也依赖于研究人员的数学判断。 

结论

综合来看，解决 KLS 了结了高维几何中的一个核心问题。此前以该猜想为假设的大量结果，现在可以无条件地陈述。因此，这一证明为凸几何、概率论和理论计算机科学的研究提供了更坚实的基础。

这项工作还表明，经过精心引导的人机协作如何能够促进真正的科学发现，同时强化而非取代人类的洞察。它凸显了科学判断在识别有前景的方向、认识概念之间的联系，以及判断局部洞见何时指向更深层结果方面持续的重要性。作者目前正在简化该证明并扩展其形式化验证，以便数学和理论计算机科学界能够更方便地审视这一结果并在此基础上继续推进。

致谢 

感谢我们的共同作者 Zhao Song 对这项工作的贡献，并感谢 Victor Reis （在新标签页中打开） 和 Ishai Menache 在整个项目过程中的有益讨论。 

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博文 解决数学中一项已有 31 年历史的重大挑战——KLS 猜想 最先发表于 Microsoft Research。